Geldanlage / Private Finanzen

Wie funktioniert eigentlich Prozentrechnung?

Ein paar einfache mathematische Grundlagen.


Bei vielen Themen rund ums Geldanlegen kommt man nicht um Prozentrechnung herum: Zinsen, Zinseszinsen, Steuern, Geldanlage- und Kreditvergleiche können den ein oder anderen schnell überfordern. Mit
dieser Artikelserie möchte ich alle wichtigen Aspekte dieses Themenkomplexes vermitteln. Teil 1 soll eine Einführung in die elementaren Grundlagen geben.

Was sind x Prozent von y?


Fangen wir ganz leicht an: wie viel sind 5% von 100? Richtig, 5.
Und wieviel sind 5% von 200? Genau: 10.

Aber wieviel sind 3,4% von 1315? Das können wir nicht so schnell beantworten, weil wir es nicht im Kopf berechnen können. Und das verblüffende ist: viele können es auch mit Taschenrechner nicht,
obwohl sie die beiden ersten Fragen ohne zu zögern korrekt beantworten konnten.

Wie berechnet man das also?
Schauen wir uns nochmal die beiden ersten Aufgaben an, die wir alle sofort lösen konnten und überlegen uns, wie genau wir da gerechnet haben:
Also, warum wussten wir sofort, daß 5% von 100 genau 5 ergibt? Weil wir wissen, daß "pro zent" gleichbedeutend mit "pro hundert" ist. Das bedeutet, wir teilen einen Wert in hundert gleich große
Stücke und nehmen, in diesem Beispiel, fünf davon. Ein hunderstel von 100 ergibt eins. Ein Prozent von 100 ist also eins. Und fünf Prozent sind dann eben fünf. Die Berechnung lautet also: (100/100) *
5. Und das gibt eben 5.

Und beim zweiten Beispiel?
Ein "pro zent" von 200 sind zwei, weil 200/100 = 2 ist. Und fünf solche "pro zent" sind demnach 10 (5 mal 2). Die Berechnung lautet (200/100) * 5 = 10.

Und mit diesem Berechnungs-Schema können wir auch die dritte Aufgabe lösen, zumindest wenn wir einen Taschenrechner zur Hilfe nehmen: die Berechnung lautet, wie wir eben gesehen haben,
(1315/100)*3,4. Das ergibt 44,71, was uns im Moment aber gar nicht interessiert. Es ging ja nur darum zu verstehen, wie es geht.

Zinsen berechnen


Bleiben wir beim dritten Beispiel: wenn wir also 1315 Euro zu 3,4 Prozent anlegen, erhalten wir nach einem Jahr 44,71 Euro Zinsen - das haben wir eben gelernt. Wenn wir nun wissen möchten, wie hoch
unser Endkapital ist, müssen wir diese Zinsen zu unserer Einlage hinzuzählen: 1315 + 44,71 ergibt: 1359,71 Euro (so etwas unnötig kompliziertes wie Steuern ignorieren wir an dieser Stelle absichtlich
erstmal).

Schauen wir uns nochmal genau an, wie wir das berechnet haben:
Die Zinsen sind 3,4 "pro zent" (also Hunderstel) von 1315, und diese zählen wir zu unserem eingezahlten Kapital (also zu den 1315 Euro) hinzu. Wir rechnen also:
Endkapital = (3,4 / 100) * 1315 + 1315 = 44,71 + 1315 = 1359,71.

Geht das auch einfacher?


Ja, und zwar ganz erheblich. Auf dem Weg zur Vereinfachung müssen wir aber ein wenig mit Formeln herumrechnen: nehmen wir also nochmal den eben genannten Term und klammern die 1315 aus, dann erhalten
wir:
Endkapital = [(3,4 / 100) + 1 ] * 1315
Die 3,4 Hunderstel können wir auch einfach im Kopf berechnen: das sind 0,034 (eben 3,4 / 100). Also erhalten wir:
Endkapital = (0,034 + 1) * 1315
Und weil wir die Addition in der Klammer auch im Kopf hinbekommen, erhalten wir weiter:
Endkapital = 1,034 * 1315
Dafür brauchen wir jetzt zwar einen Taschenrechner, aber eben auch nur dafür.

Hätte man es bis hierher im Kopf schaffen können?


Das für viele erstmal erstaunliche ist: ja. Es ist wirklich total einfach. Wenn wir zu einem beliebigen eingezahlten Betrag (hier: 1315 Euro) die Zinsen hinzuzählen möchten, müssen wir nur den
Zinssatz in Hunderstel zur eins hinzuzählen und mit dem Betrag multiplizieren.

Ein weiteres Beispiel:
Nehmen wir an, wir legen 2000 Euro zu fünf Prozent an und möchten wissen, was das nach einem Jahr ergibt: Die Antwort ist einfach:
1,05 * 2000 = 2100 Euro.

Wenn wir später mehrjährige Kapitalanlagen betrachten und dabei mit Zinseszinsen rechnen werden, dann ist diese Vereinfachung sehr hilfreich (weil die Formeln sonst elend kompliziert werden).
Deswegen will ich an dieser Stelle nochmal erklären, wie diese ominöse 1,05 zustande kommt:
Fünf Prozent von 2000 Euro sind fünf "pro zent" von 2000, also fünf Hunderstel. Ein Hunderstel sind 0,01 - folglich sind fünf Hunderstel eben 0,05. Die Zinsen sind also 0,05 * 2000 (=100). Und die
zählen wir zum eingezahlten Kapital dazu, also 100 + 2000. Aber das machen wir nicht in den hier beschriebenen zwei Schritten, sondern in einem, indem wir die 2000 gleich mit 1,05 statt mit 0,05
multiplizieren (statt 0,05 mal 2000 plus 1 mal 2000 sagen wir eben gleich 1,05 mal 2000, denn wir können 0,05 und 1 ja im Kopf addieren).

Und weil diese Vereinfachung so wichtig ist, gleich noch ein Beispiel. Dieses mal wähle ich die Zahlen absichtlich so, daß wir das Ergebnis nicht mehr im Kopf berechnen können. Unser Ziel dabei ist
es, eine möglichst einfache Formel in unseren Taschenrechner einzugeben:
Nehmen wir an, wir legen 4322 Euro zu 3,75 Prozent an, und möchten wissen, wieviel Geld wir nach einem Jahr haben: die Formel, die wir in den Taschenrechner eingeben, lautet also: "4322 * 1,0375".
Betrachten wir nochmal, was wir ohne unsere Vereinfachung eingegeben hätten: "(4322 / 100) * 3,75 + 4322". Ja, klar: das Ergebnis ist das selbe. Warum hacke ich also so auf dieser Vereinfachung
herum? Die Antwort lautet: erstens, weil man mit der vereinfachten Formel viel weniger Gefahr läuft, sich zu vertippen, und zweitens, weil für einen normalbegabten Menschen ausschließlich die
vereinfachte Form als Grundlage für komplexere Berechnungen taugt. Mit der aufwändigeren Formel verliert man spätestens dann, wenn Zinseszinsen und Steuern mit ins Spiel kommen, den Überblick.

Hier einige weitere Beispiele, um es wirklich ganz klar zu machen:

AufgabeFormelErgebnis
Was sind 7% von 450?450 * 0,0731,50
Was sind 12% von 300?300 * 0,1236,00
1000 Euro plus 3% Zinsen ergeben?1000 * 1,031030,00
3500 Euro plus 11,4% Zinsen ergeben?3500 * 1,1143899,00

Tipp: Verinnerlichen Sie sich diese Terme soweit, daß sie Ihnen ohne nachzudenken wie selbstverständlich erscheinen, bevor Sie sich komplexeren Rechnenaufgaben stellen.

Weitere Artikel zum Thema:
     Wie berechnet man Zinseszinsen?
     Die geometrische Rendite



1. Mai 2012, zurück zur Startseite. Admin: Artikel editieren



Kommentare

Von Holger (URL) am 02.05.2012.
Bis hierhin konnte ich folgen. Jetzt bin ich auf die nächsten Teile der Serie gespannt.

Von Christoph (URL) am 04.05.2012.
Hallo Holger, ich bin auch selbst gespannt, wie es weitergeht... ;-)

Von Mimi (URL) am 18.05.2014.
Vielen vielen Dank , sie haben mir wirklich geholfen 💡❤️🙊
📯

Von Nur so am 25.10.2016.
Zitat
"Die Antwort ist einfach:
1,05 * 2000 = 2010 Euro."

Die Antwort ist vielleicht einfach, aber falsch...

Richtig wäre natürlich:
1,05 * 2000 = 2100 Euro.

Von Christoph (URL) am 26.10.2016.
Hallo "Nur so", vielen Dank für den Hinweis! Da steht der Artikel seit Jahren online, und keiner hat es bemerkt.
Ich habe den Fehler korrigiert.


Neuer Kommentar

Vielen Dank schon vorab, daß Sie einen Kommentar hinterlassen möchten.
Bitte achten Sie darauf, daß Ihr Eintrag freundlich ist, und daß mögliche Kritik sachlich geäußert wird.
Unsachliche, beleidigende oder gar verfassungsfeindliche Kommentare werden hier sofort gelöscht.

Ihr Kommentar:

Name:
E-Mail: (optional)
URL: (optional)
Inhalt:
Hinweise: • Zeilenumbrüche werden automatisch erzeugt. Bitte nicht am Ende jeder Zeile die Return-Taste drücken.
• Das Eingabefeld kann rechts unten in den meisten Browsern mit der Maus größer gezogen werden.

Kontrollfrage: 4 + 8 =