Geldanlage / Private Finanzen

Wie berechnet man Zinseszinsen?

Teil 2 unserer Serie über die Mathematik hinter der Geldanlage


Nachdem wir in Teil 1 die ersten Grundlagen zur Prozentrechnung gesehen haben, kommen wir nun zu den Zinseszinsen, die immer dann relevant werden, wenn wir Geld über mehr als ein Jahr anlegen und die Zinsen dabei entweder regelmäßig gleich wieder anlegen, oder aber erst gar nicht auszahlen lassen, so daß alle Zinsen in allen Folgejahren mitverzinst werden.

Ein Beispiel


Am schnellsten wird die ganze Rechnerei durchschaubar, wenn wir mit einem Beispiel beginnen:
Nehmen wir an, wir legen 1000 Euro für fünf Jahre an und erhalten dafür 4% Zinsen p.a., lassen uns diese aber nicht jährlich auszahlen, sondern lassen sie dem Sparguthaben gutschreiben, so daß sie sich anschließend mitverzinsen. Am Ende der Laufzeit erhalten wir dann eine einmalige Auszahlung über den Anlagebetrag und alle bis dahin angefallenen Zinsen (und Zinseszinsen).
Die Abgeltungssteuer wollen wir erneut ignorieren.

Wie entwickelt sich unser Guthaben?


Im ersten Teil haben wir gelernt, daß wir nach einem Jahr ein Guthaben in Höhe von
1000 * 1,04 = 1040 Euro
haben.
Nach zwei Jahren haben wir dann
1040 * 1,04 = 1081,60 Euro.
Nach drei Jahren sind es dann
1081,60 * 1,04 Euro = 1124,86 Euro (auf zwei Nachkommastellen gerundet).
Genau nach dem gleichen Muster lässt sich der Betrag für das vierte und das fünfte Jahr berechnen.

Bei einer sehr langen Laufzeit (20 Jahre und mehr) wird aber auch diese Rechnerei zur Plage, so daß wir das ganze wieder vereinfachen wollen. Schauen wir uns dazu die Berechnung fürs zweite Jahr an: dort steht "1040*1,04". Doch woher kommen diese 1040? Richtig, das ist das Ergebnis nach dem ersten Jahr.
Wenn wir diesen berechneten Wert (1040,00 Euro) durch die Formel, durch die wir ihn berechnet haben (also 1000 * 1,04) ersetzen, dann sieht die Berechnung fürs zweite Jahr also wie folgt aus:
Kapital nach zwei Jahren = (1000 * 1,04) * 1,04

Und im dritten Jahr? Dazu multiplizieren wir diesen Betrag wieder mit 1,04. Wenn wir erneut nur die Formeln aufschreiben, ohne die Multiplikation wirklich durchzuführen, dann sieht die Rechnung wie folgt aus:
Kapital nach drei Jahren = ((1000 * 1,04) * 1,04) * 1,04

Entsprechend haben wir nach
vier Jahren: (((1000 * 1,04) * 1,04) * 1,04) * 1,04
und nach fünf Jahren: ((((1000 * 1,04) * 1,04) * 1,04) * 1,04) * 1,04

Das könnten wir nun in einen Taschenrechner eintippen und hätten unser Ergebnis. Doch es geht noch einfacher:
Da wir es auschließlich mit Multiplikationen zu tun haben, ist die Reihenfolge der einzelnen Faktoren völlig egal. Dies bedeutet, daß wir alle Klammern weglassen können. Wir vereinfachen also:
Kapital nach fünf Jahren = 1000 * 1,04 * 1,04 * 1,04 * 1,04 * 1,04

Das ist schon wieder ein Stückchen einfacher, doch spätestens mit einer Laufzeit von zum Beispiel dreißig Jahren wird auch diese Formel aufgrund ihrer Länge nur noch schwer zu handhaben sein.

Netterweise hält die Mathematik für das mehrfache Multiplizieren mit ein und der selben Zahl aber eine weitere Vereinfachung bereit, nämlich die Potenz:
Statt
1,04 * 1,04 * 1,04 * 1,04 * 1,04
dürfen wir auch einfach schreiben:
1,045 (sprich: "eins Komma null vier hoch fünf", weil man die fünf etwas höher schreibt)

Diese Schreibweise mit der etwas höhergestellten fünf bedeutet nichts anderes, als daß wir fünf mal mit der Zahl 1,04 multiplizieren. Wie gesagt: es ist nichts anderes als eine verkürzende Schreibweise.

Unser Kapital nach fünf Jahren lässt sich also noch einfacher als Formel ausdrücken:
Endkaptial = 1000 * 1,045

Nahezu alle vernünftigen Taschenrechner unterstützen das Rechnen mit Potenzen (die Taste ist in der Regel mit xy oder x^y beschriftet), so daß sich die als Potenz vereinfachte Schreibeweise auch beim Eintippen in den Taschenrechner verwenden lässt.

Einfacher geht es jetzt nicht mehr.


Wenn Sie möchten, können Sie die Formel nochmal so aufschreiben, wie wir am Anfang des ersten Teils beim Prozentrechnen gesehen haben. Spätestens, wenn Sie damit fertig sind, werden Sie die Einfachheit unseres hier vorgestellten Terms zu schätzen wissen.

Am Rande bemerkt


Viele triviale Texteditoren (z. B. Windows Notepad, oder die Kommentarfunktion auf dieser Webseite) erlauben keine Formatierungen und machen die Schreibweise mit der hochgestellten fünf damit unmöglich. In diesen Fällen hat sich eine Schreibeweise mit einem dazwischengestellten Dach bewährt. Man schreibt in diesem Fall also "1,04^5".

Auch wenn Sie hier nicht wichtig sind, zur Vollständigkeit noch ein paar Begrifflichkeiten:
Wie bei anderen Rechenoperationen auch, haben beim Potenzieren die verwendeten Zahlen einen Namen, der Ihre jeweilige Funktion beschreibt (so wie man beim Multiplizieren von "Faktoren" spricht oder beim Dividieren vom "Dividenden" und vom "Divisor"): Im Term 1,045 zum Beispiel wird die fünf der "Exponent" genannt, und die 1,04 nennt man die "Basis". Eine Potenz ist also "Basis hoch Exponent".

Der Rundungsfehler


Leider ist die vereinfachte Schreibweise als Potenz nur für rein mathematische Betrachtungen nützlich. Im gesamten Finanzwesen wird bei verzinslichen Anlagen nämlich nach jeder einzelnen Zinsberechnung auf zwei Nachkommastellen gerundet, und dann wird mit dem gerundeten Betrag weiter gerechnet (=verzinst). In der Praxis weichen deswegen die tatsächlich erzielten Beträge häufig um ein paar Cent von den Beträgen ab, die wir als Ergebnis der Berechnung mittels Potenzen erhalten.
Solange es bei der Rechnerei aber um strategische Fragen geht, und nicht darum, einen Kontoauszug zu überprüfen, sind wir mit der Berechnung mit Hilfe von Potenzen bestens bedient - die Abweichungen im Bereich weniger Cents interessieren uns dann einfach nicht.

Weitere Beispiele


Wer komplexere Berechnungen durchführen möchte (oder muss), der sollte die Zinseszins-Formeln beherrschen, ohne darüber nachdenken zu müssen. Deswegen hier ein paar Beispiele, die dabei helfen sollen, sich die Vorgehensweise zu verinnerlichen:

AufgabeFormelErgebnis
2500 Euro zu 4,2% über 6 Jahre ergibt mit Zinseszinsen2500 * 1,04263 199,97
10000 zu 10,5% über 30 Jahre mit Zinseszins10000 * 1,10530199 925,57
10000 Euro mit 2% Verlust p.a. ergeben nach 12 Jahren10000 * 0,98127 847,17
10000 Euro mit 10% Verlust p.a. ergeben nach 12 Jahren10000 * 0,9122 824,30
1000 Euro zu 150% p.a. sind nach 2 Jahren1000 * 2,526 250,00
Die kumulierte Wertentwicklung bei 4,5% p.a. nach 10 Jahren ist1,04510 - 155,30%
Wenn ich für 10000 Euro 15 Jahre lang 7% p.a. bekomme, mir aber 9% p.a. versprochen wurden, wie viel weniger als versprochen habe ich dann?10000 * 1,0915 - 10000 * 1,0715
oder: 10000 * (1,0915 - 1,0715)
aber nicht: 10000 * 1,0215 oder ähnliches
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Weitere Artikel zum Thema:
     Wie funktioniert eigentlich Prozentrechnung?
     Die geometrische Rendite



6. Mai 2012, zurück zur Startseite. Admin: Artikel editieren



Kommentare

Von Holger (URL) am 07.05.2012.
Sehr schön, ich konnte immer noch folgen, auch wenn manche Beispiele doch schon sehr ausgefuchst sind. Hätte es diese Serie vor zwei Jahren schon gegeben, hätte ich mir das sinnlos ausgegebene Geld für "Wirtschaftsmathematik für Dummies" sparen können. ;-)

Viele Grüße

Von Christoph (URL) am 09.05.2012.
Hallo Holger,
das freut und wundert mich. Irgendwie habe ich immer den Eindruck, daß Du zwar behauptest, nichts vom Rechnen zu verstehen, aber daß Du letztlich viel mehr davon verstehst als der Rest der Welt :-)
Ich weiß übrigens noch nicht so recht, wie ich die Serie fortsetzen soll. Vielleicht irgendwas mit Barwert, und dann sollten natürlich auch noch Inflation und Kaufkraft kommen. Ich glaube, ich muss meine vagen Ideen mal etwas strukturieren...
Viele Grüße, Christoph

Von Holger (URL) am 12.05.2012.
Hallo Christoph,

na ja, rechnen kann ich schon ganz gut. Aber wenn es komplizierter wird, stoße ich halt schnell an eine Decke. Und dann scheitere ich schon daran, dass ich in der Regel die Zeichen nicht verstehe, die verwendet werden.

In Wirtschaftsmathematik für Dummies sollte ich mich zuerst mit Funktionen auseinandersetzen. Das war weder lustig, noch habe ich es richtig verstanden. Und das war das Ende der Lektüre. ;-)

Für die Fortsetzung der Serie finde ich den Barwert in jedem Fall sehr gut, damit habe ich immer Schwierigkeiten; Inflation und Kaufkraft sollten wohl auch dazu gehören.

Viele Grüße

Von patri am 19.03.2014.
herst was ist das !! das ist zu komplitziert !!! ich verstehe gar nichts /./

Von Christoph (URL) am 20.03.2014.
Hallo patri,
das ist schade. Bei "gar nichts" weiß ich leider nicht, wie ich beim Zinsrechnen helfen könnte.
Wenn etwas konkretes bei der Zinsrechnung nicht verständlich ist, könnte ich es vielleicht nochmal beschreiben.
So weiß ich jetzt leider nicht, was ich antworten soll.
Wenn Du vielleicht eine konkrete Frage zur Zinseszinsberechnung stellen kannst, versuche ich zu helfen.
Viele Grüße, Christoph

Von Armin am 25.12.2014.
Hallo Christoph,

herzlichen Dank für die Erklärung wie man
Zinseszinsen berechnet. Das ist ja ganz einfach.

viele Grüße
Armin


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